線、角、相交線、平行線

規(guī)律1

如果平面上有n(n≥2)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一直線上，那么每兩點(diǎn)畫一條直線，一共可以畫出n(n－1)條。

規(guī)律2

平面上的n條直線最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕個(gè)部分。

規(guī)律3

如果一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，那么在這個(gè)圖形中共有線段的條數(shù)為n(n－1)條。

規(guī)律4

線段（或延長線）上任一點(diǎn)分線段為兩段，這兩條線段的中點(diǎn)的距離等于線段長的一半。

規(guī)律5

有公共端點(diǎn)的n條射線所構(gòu)成的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一共有n(n－1)個(gè)。

規(guī)律6

如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，則可構(gòu)成小于平角的角共有2n（n－1）個(gè)。

規(guī)律7

如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，則可構(gòu)成n（n－1）對對頂角。

規(guī)律8

平面上若有n（n≥3）個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，過任意三點(diǎn)作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）個(gè)。

規(guī)律9

互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角平分線所成的角的度數(shù)為90°。

規(guī)律10

平面上有n條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n(n－1)個(gè)。

規(guī)律11

互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的差的一半。

規(guī)律12

當(dāng)兩直線平行時(shí)，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直。

規(guī)律13

已知AB∥DE,如圖⑴～⑹,規(guī)律如下：

規(guī)律14

成“8”字形的兩個(gè)三角形的一對內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個(gè)內(nèi)角和的一半。

三角形部分

規(guī)律15

在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題。

注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)，常通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個(gè)或幾個(gè)三角形中去然后再證題。

規(guī)律16

三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線相交所成的銳角，等于第三個(gè)內(nèi)角的一半。

規(guī)律17

三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90o加上第三個(gè)內(nèi)角的一半。

規(guī)律18

三角形的兩個(gè)外角平分線相交所成的銳角等于90o減去第三個(gè)內(nèi)角的一半。

規(guī)律19

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個(gè)角差（的絕對值）的一半。

注意：同學(xué)們在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，可以把自己證完的題進(jìn)行適當(dāng)變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力。

規(guī)律20

在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題。

規(guī)律21

有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律22

有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律23

在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律24

截長補(bǔ)短作輔助線的方法

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補(bǔ)短法。

當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法：

①a＞b

②a±b=c

③a±b=c±d

規(guī)律25

證明兩條線段相等的步驟：

①觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。

②若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等。

③如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律26

在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個(gè)角相等。

規(guī)律27

三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離相等。

規(guī)律28

條件不足時(shí)延長已知邊構(gòu)造三角形。

規(guī)律29

連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題。

規(guī)律30

有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長?？蓺w結(jié)為“角分垂等腰歸”。

規(guī)律31

當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律32

當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供條件。

規(guī)律33

有角平分線時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題。

規(guī)律34

有等腰三角形時(shí)常用的輔助線

⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線

⑶將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題

⑷常過一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線

⑸常過一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線

⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形------等邊三角形

規(guī)律35

有二倍角時(shí)常用的輔助線

⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角

⑵平分二倍角

⑶加倍小角

規(guī)律36

有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來。

規(guī)律37

有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線。

規(guī)律38

有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線。

規(guī)律39

當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題。

規(guī)律40

條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中。

四邊形部分

規(guī)律41

平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半。

規(guī)律42

平行四邊形被對角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形周長之差等于鄰邊之差。

規(guī)律43

有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形。

規(guī)律44

有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長此線段。

規(guī)律45

平行四邊形對角線的交點(diǎn)到一組對邊距離相等。

規(guī)律46

平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點(diǎn)與對邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半。

規(guī)律47

平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四個(gè)三角形中，不相鄰的兩個(gè)三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半。

規(guī)律48

任意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等。

規(guī)律49

平行四邊形四個(gè)內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形。

規(guī)律50

有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線。

規(guī)律51

直角三角形常用輔助線方法：

⑴作斜邊上的高

⑵作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時(shí)常作斜邊中線：

①有斜邊中點(diǎn)時(shí)

②有和斜邊倍分關(guān)系的線段時(shí)

規(guī)律52

正方形一條對角線上一點(diǎn)到另一條對角線上的兩端距離相等。

規(guī)律53

有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn)。

規(guī)律54

利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法。

旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件。

旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中。

規(guī)律55

有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常把這條線段延長，構(gòu)造全等三角形。

規(guī)律56

從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形。

規(guī)律57

從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形和兩個(gè)三角形。

規(guī)律58

從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形。

規(guī)律59

延長梯形兩腰使它們交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形。

規(guī)律60

有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，常過此中點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。

規(guī)律61

有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，也常把一底的端點(diǎn)與中點(diǎn)連結(jié)并延長與另一底的延長線相交，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形。

規(guī)律62

梯形有底的中點(diǎn)時(shí)，常過中點(diǎn)做兩腰的平行線。

規(guī)律63

任意四邊形的對角線互相垂直時(shí)，它們的面積都等于對角線乘積的一半。

規(guī)律64

有線段中點(diǎn)時(shí)，常過中點(diǎn)作平行線，利用平行線等分線段定理的推論證題。

規(guī)律65

有下列情況時(shí)常作三角形中位線。

⑴有一邊中點(diǎn)；

⑵有線段倍分關(guān)系；

⑶有兩邊（或兩邊以上）中點(diǎn)。

規(guī)律66

有下列情況時(shí)常構(gòu)造梯形中位線

⑴有一腰中點(diǎn)

⑵有兩腰中點(diǎn)

⑶涉及梯形上、下底和

規(guī)律67

連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為平行四邊形。

規(guī)律68

連結(jié)對角線相等的四邊形中點(diǎn)所得的四邊形為菱形。

規(guī)律69

連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為矩形。

規(guī)律70

連結(jié)對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為正方形。

規(guī)律71

連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點(diǎn)所得的四邊形分別為平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形。

規(guī)律72

等腰梯形的對角線互相垂直時(shí)，梯形的高等于兩底和的一半（或中位線的長）。

規(guī)律73

等腰梯形的對角線與底構(gòu)成的兩個(gè)三角形為等腰三角形。

規(guī)律74

如果矩形對角線相交所成的鈍角為120o，則矩形較短邊是對角線長的一半。

規(guī)律75

梯形的面積等于一腰的中點(diǎn)到另一腰的距離與另一腰的乘積。

規(guī)律76

若菱形有一內(nèi)角為120°，則菱形的周長是較短對角線長的4倍。

相似形和解直角三角形部分

規(guī)律77

當(dāng)圖形中有叉線（基本圖形如下）時(shí)，常作平行線。

規(guī)律78

有中線時(shí)延長中線（有時(shí)也可在中線上截取線段）構(gòu)造平行四邊形。

規(guī)律79

當(dāng)已知或求證中，涉及到以下情況時(shí)，常構(gòu)造直角三角形。

⑴有特殊角時(shí)，如有30°、45°、60°、120°、135°角時(shí).

⑵涉及有關(guān)銳角三角函數(shù)值時(shí).

構(gòu)造直角三角形經(jīng)常通過作垂線來實(shí)現(xiàn).

規(guī)律80

0°、30°、45°、60°、90°角的三角函數(shù)值表。

另外：0°、30°、45°、60°、90°的正弦、余弦、正切值也可用下面的口訣來記憶：

0°可記為北京電話區(qū)號不存在，即：010不存在，90°正好相反

30°、45°、60°可記為：

1、2、3、3、2、1，

3、9、27，

弦比2，切比3，

分子根號別忘添.

其中余切值可利用正切與余切互為倒數(shù)求得。

規(guī)律81

同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

（1）.平方關(guān)系：sin?2;α+cos?2;α=1

（2）.倒數(shù)關(guān)系：tanα·cotα=1

（3）.商數(shù)關(guān)系：

規(guī)律82

任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。

規(guī)律83

任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

規(guī)律84

三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦之積的一半。

規(guī)律85

等腰直角三角形斜邊的長等于直角邊的√2倍。

規(guī)律86

在含有30°角的直角三角形中，60o角所對的直角邊是30°角所對的直角邊的√3倍。（即30°角所對的直角邊是幾，另一條直角邊就是幾倍√3。）

規(guī)律87

直角三角形中，如果較長直角邊是較短直角邊的2倍，則斜邊是較短直角邊的√5倍。

圓部分

規(guī)律88

圓中解決有關(guān)弦的問題時(shí)，常常需要作出圓心到弦的垂線段（即弦心距）這一輔助線，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件，二是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題。

規(guī)律89

有等弧或證弧等時(shí)常連等弧所對的弦或作等弧所對的圓心角。

規(guī)律90

有弦中點(diǎn)時(shí)常連弦心距。

規(guī)律91

證明弦相等或已知弦相等時(shí)常作弦心距。

規(guī)律92

有弧中點(diǎn)（或證明是弧中點(diǎn)）時(shí)，常有以下幾種引輔助線的方法：

⑴連結(jié)過弧中點(diǎn)的半徑

⑵連結(jié)等弧所對的弦

⑶連結(jié)等弧所對的圓心角

規(guī)律93

圓內(nèi)角的度數(shù)等于它所對的弧與它對頂角所對的弧的度數(shù)之和的一半。

規(guī)律94

圓外角的度數(shù)等于它所截兩條弧的度數(shù)之差的一半。

規(guī)律95

有直徑時(shí)常作直徑所對的圓周角，再利用直徑所對的圓周角為直角證題。

規(guī)律96

有垂直弦時(shí)也常作直徑所對的圓周角。

規(guī)律97

有等弧時(shí)常作輔助線有以下幾種：

⑴作等弧所對的弦

⑵作等弧所對的圓心角

⑶作等弧所對的圓周角

規(guī)律98

有弦中點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造三角形中位線。

規(guī)律99

圓上有四點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形。

規(guī)律100

兩圓相交時(shí)，常連結(jié)兩圓的公共弦。

規(guī)律101

在證明直線和圓相切時(shí)，常有以下兩種引輔助線方法：

⑴當(dāng)已知直線經(jīng)過圓上的一點(diǎn)，那么連結(jié)這點(diǎn)和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可。

⑵如果不知直線與圓是否有交點(diǎn)時(shí)，那么過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等于半徑的長即可。

規(guī)律102

當(dāng)已知條件中有切線時(shí)，常作過切點(diǎn)的半徑，利用切線的性質(zhì)定理證題。